题目内容

在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大体积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：设内接圆柱的底面半径为r、高为h，在△AOS中利用线段成比例，算出h=a-2r，从而得到内接圆柱的体积为V=aπr²-2πr³，再用导数讨论函数的单调性，可得在（0， $\text{[math]}$ ）上单调增，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上单调减，得出当r= $\text{[math]}$ 时，该内接圆柱的最大体积为 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h
则在△AOS中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得h=a-2r
∴内接圆柱的体积为V=πr²h=aπr²-2πr³（0＜r＜ $\text{[math]}$ ）
∵V'=2aπr-6πr²=2πr（a-3r）
∴0＜r＜ $\text{[math]}$ 时，V'＞0； $\text{[math]}$ ＜r＜ $\text{[math]}$ 时V'＜0．
由此可得V在（0， $\text{[math]}$ ）上是增函数，（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上是减函数
∴当r= $\text{[math]}$ 时，圆柱的最大体积为V（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
故选C
点评：本题给出底面直径与高相等的圆锥，求它的内接圆柱的最大体积，着重考查了旋转体的体积公式和利用导数研究函数的单调性等知识属于基础题．