Question

已知函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为

1

8

的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（-x），利用

1+x

1-x

=（

1-x

1+x

） ^-1可得f（-x）=-f（x），从而得到函数为奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）内有解，从而得出实数k属于函数y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）内的值域．下面利用换元法求出其值域即可得到实数k的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂

1-x

1+x

-x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）内单调递减，于是再算区间（-1，0）的中点g（-

1

2

）=log₂3-

1

2

＞0，然后算区间（-

1

2

，0）的中点 g（-

1

4

）＜0，最后算区间（-

1

2

，-

1

4

）的中点g（-

3

8

）＞0．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；              （2'）
因为f（-x）+f（x）=log₂

1+x

1-x

+log₂

1-x

1+x

=log₂

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．                                       （4'）
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）内的值域．                  （6'）
令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t-

2

t

在（0，2）内单调递增，所以t-

2

t

∈（-∞，1）．
故实数k的取值范围是（-∞，1）．                                            （8'）
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂

1-x

1+x

-x-1（-1＜x＜1）．
因为(

5

3

)4=

625

81

＜8=23，且y=log₂x在区间（0，+∞）内单调递增，所以log₂(

5

3

)4＜log₂2³，
即4log₂

5

3

＜3，亦即log₂

5

3

＜

3

4

．
于是g（-

1

4

）=log₂

5

3

-

3

4

＜0．                 ①（10'）
又∵g（-

3

8

）=log₂

11

5

-

5

8

＞1-

5

8

＞0．                                    ②（12'）
由①②可知，g（-

1

4

）•g（-

3

8

）＜0，
所以函数g（x）在区间（-

3

8

，-

1

4

）内有零点x₀．
即方程f（x）=x+1在（-

3

8

，-

1

4

）内有实根x₀．                                  （13'）
又该区间长度为

1

8

，因此，所求的一个区间可以是（-

3

8

，-

1

4

）．（答案不唯一）      （14'）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，二分法，以及对数的运算性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．属于对数函数的综合题．