Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[﹣5，5]，

（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．

Answer 1

考点：

二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

专题：

计算题；综合题；函数的性质及应用．

分析：

（1）当a=﹣1时f（x）=x²﹣2x+2，可得区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．由此可得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1；

（2）由题意，得函数y=f（x）的单调减区间是[a，+∞），由[﹣5，5]⊂[a，+∞）解出a≤﹣5，即为实数a的取值范围．

解答：

解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x²﹣2x+2，

∴函数图象的对称轴为x=1，

在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．

∴函数的最小值为[f（x）]_min=f（1）=1，

函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]_max=f（﹣5）=37

综上所述，得[f（x）]_max=37，[f（x）] _min=1（6分）

（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上

∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，a]，单调减区间是[a，+∞），

由此可得当[﹣5，5]⊂[a，+∞）时，

即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．

即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．（6分）

点评：

本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于基础题．