Question

11．由动点P引圆O：x²+y²=4的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，若∠APB=90°．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线l：mx-y+1=0与圆O的交点为M、N，求MN的中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）直接由圆与切线的平面几何性质求得动点P到原点O的距离为定值$2\sqrt{2}$，则点P的轨迹方程可求；
（2）设出M、N、Q的坐标，把M、N的坐标代入圆的方程，利用点差法得到MN所在直线的斜率，再由弦中点及直线所过定点求斜率，由斜率相等得答案．

解答 解：（1）由圆与切线的平面几何性质知，∠APO=45°，
∵OA⊥AP，∴OP=$\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$，
故P点的轨迹是以O为圆心，以$2\sqrt{2}$为半径的圆，方程为x²+y²=8；
（2）直线l：mx-y+1=0过定点（0，1），
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），Q（x，y），
则${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4$  ①，
${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=4$  ②，
①-②得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{x}{y}$（x₁≠x₂），
即$\frac{y-1}{x-0}=-\frac{x}{y}$（x，y≠0），
整理得：${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$（x，y≠0）．
验证点（0，0）（0，1）满足题意，
∴MN的中点Q的轨迹方程为${x}^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了“点差法”，涉及弦中点问题，常采用此法，属中档题．