Question

甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/小时）的函数关系是P=

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v，
（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

Answer 1

（1）Q=P•

400

v

=（

1

19200

v⁴-

1

160

v³+15v）•

400

v

=（

1

19200

v³-

1

160

v²+15）•400
=

v3

48

-

5

2

v²+6000（0＜v≤100）．
（2）Q′=

v2

16

-5v，
令Q′=0，则v=0（舍去）或v=80，
当0＜v＜80时，Q′＜0．
当80＜v≤100时，Q′＞0．
∴v=80时，全程运输成本取得极小值，即最小值．
从而Q_min=Q（80）=

2000

3

元．