Question

如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O．OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

2

6

，求圆锥的体积．

Answer 1

分析：（1）法一应用反证法，若 BC⊥SA，推出∠SCB是锐角与BC⊥SC矛盾．
法二建立空间直角坐标系，求

SA

•

BC

=r2≠ 0说明两条直线不垂直．
（2）利用空间直角坐标系数量积求出底面半径，然后求体积．

解答：解：（1）证法一：反证法：若 BC⊥SA，
连AC，由AB是直径
则AC⊥BC，所以 BC⊥平面SAC
则 BC⊥SC
又圆锥的母线长相等，
∠SCB是等腰三角形SBC的底角，
则∠SCB是锐角
与BC⊥SC矛盾，所以BC与SA不垂直
证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为h，
底面半径为r，
则 B（0，r，0），C（r，0，0），A（0，-r，0）
S（0，0，h），

SA

=(0，-r，-h)， 

BC

=(r，-r，0)，

SA

• 

BC

= r2≠ 0，
所以BC与SA不垂直．

（2）建立如图坐标系，设底面半径为r，
由高为4．则 D（

R

2

，0，2），则

AD

=(

r

2

，r，2)，

BC

=(r，-r，0)
cos＜

AD

，

BC

＞=

- r2 2

2r2 • 4+ 5r2 4

=

-r2

2 • 16+5r2

=

2

6

，
解得  r=2，
所以V=

1

3

πr2h=

16π

3

．

点评：本题考查组合体及旋转体的体积，空间直角坐标系，直线与平面所成的角，考查反证法，是中档题．