Question

8．已知函数f（x）=x²+ax-c，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m，若不等式f（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，若对任意的x₁∈[-3，-2]，存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥$\frac{1}{4}$
• B． m≥1
• C． m≥0
• D． m≥2

Answer 1

分析 根据题意，把问题转化为f（x）_min≥g（x）_min，求出对应区间上的最小值，列出不等式，即可求出m的取值范围

解答 解：∵不等式f（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴-2+1=-a，-2×1=-c，
∴a=1，c=2，
∴f（x）=x²+x-2，
∵对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-3，-2]单调递减，
∴f（x）_min=f（-2）=4-2-2=0，
∵g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m在∈[0，2]单调递减，
∴g（x）_min=g（2）=$\frac{1}{4}$-m，
∵任意的x₁∈[-3，-2]，存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x）_min≥g（x）_min，
∴0≥$\frac{1}{4}$-m，
∴m≥$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的最值问题，也考查了转化思想的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．