Question

（备用）已知函数f(x)=

1

2

(ax-a-x)，(a＞1，x∈R)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求实数t的集合A．

Answer 1

（1）∵f（x） 定义域为R，
f(-x)=

1

2

(a-x-ax)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数；
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1

2

(ax1-a-x1)-

1

2

(ax2-a-x2)
=

1

2

(ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

)
=

1

2

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)，
∵a＞1，x₁＜x₂，
∴ax1-ax2＜0，1+

1

ax1ax2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函数．
（2）∵f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函数，且在R上为增函数，
∴f（1-t）＜f（t²-1），
∵t∈（-1，1），
∴

-1＜1-t＜1 -1＜t2-1＜1 1-t＜t2-1

，即

0＜t＜2 0＜t2＜2 t2+t-2＞0

，
解得1＜t＜

2

，
∴集合A={t|1＜t＜

2

}．