Question

（备用）已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求实数t的集合A．

Answer 1

解：（1）∵f（x） 定义域为R，
，
所以f（x）是奇函数；
在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=
=
=，
∵a＞1，x₁＜x₂，
∴，，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）是增函数．
（2）∵f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函数，且在R上为增函数，
∴f（1-t）＜f（t²-1），
∵t∈（-1，1），
∴，即，
解得1＜t＜，
∴集合A={t|1＜t＜}．
分析：（1）f（x）r 定义域为R，，所以f（x）是奇函数；再由定义证明f（x）的单调性，是增函数．
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，f（x）是奇函数，且在R上为增函数，知f（1-t）＜f（t²-1），所以x∈（-1，1）时，f（1-t）+f（1-t²）＜0等价于，由此能求出集合A．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和集合的求法，解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．