Question

【题目】已知函数

(1)若关于的方程有两个不同实数根,求的取值范围；

(2)若关于的不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据对数相等条件可将方程化为；令，，可将方程进一步整理为；当时，可验证知不合题意；当时，求得，进而得到；利用和对数真数大于零的要求可构造不等式求得结果；

（2）根据对数函数单调性可将恒成立的不等式可化为，利用绝对值不等式的解法可得且对恒成立；利用分离变量法将问题转化为与函数最值的大小关系，通过求解函数最值得到结果.

（1）由题意得：

整理可得：

设，，则原方程可化为：

即：

当，即时，原方程可化为，不存在两个不等实根

的两根为：，

即，

若原方程有两个不等实根，则，解得：且

又，

且，解得：

的取值范围为

（2）由题意得：对任意恒成立

，即

由得：

当时，（当时取最小值）

由得：

当时，（当时取最大值） ，即

综上所述：的取值范围为