Question

化简：

(1+sinα+cosα)(sin α 2 -cos α 2 )

2+2cosα

，其中π＜α＜2π．

Answer 1

分析：根据三角函数的恒等变换把要求的式子化为

2cos α 2 (-cosα)

2|cos α 2 |

，再根据α的范围判断 cos

α

2

＜0，再进一步化简可得结果．

解答：解：

(1+sinα+cosα)(sin α 2 -cos α 2 )

2+2cosα

=

(1+2sin α 2 cos α 2 +2cos2 α 2 -1)(sin α 2 -cos α 2 )

2+2(2cos2 α 2 -1)

=

2cos α 2 (sin α 2 +cos α 2 )(sin α 2 -cos α 2 )

2|cos α 2 |

=

2cos α 2 (-cosα)

2|cos α 2 |

．
再由 π＜α＜2π，可得

π

2

＜

α

2

＜π，∴cos

α

2

＜0，2|cos

α

2

|=-2cos

α

2

．
故原式=

2cos α 2 (-cosα)

2|cos α 2 |

=cosα．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数在各个象限中的符号，属于中档题．