Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范围．

Answer 1

由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴2cosB-1=0，所以B=60°（3分）
（Ⅰ）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40（5分）
所以△ABC的面积S=

1

2

acsinB=10

3

；（6分）
（Ⅱ）因为

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，（10分）
又A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
则

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]．（12分）