Question

在等比数列{a_n} 中，已知a₁=

2

3

，a₃a₄=-108，则

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

9

8

．

Answer 1

分析：由已知可求等比数列{a_n}的公比q，由等比数列的性质可知，数列{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

q

为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可求

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，进而可求极限

解答：解：∵a₁=

2

3

，
∴a₃a₄=(

2

3

)2q5=-108
∴q=-3
由等比数列的性质可知，数列{

1

an

}是以

3

2

为首项，-

1

3

为公比的等比数列
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

3 2 [1- 1 (-3)n ]

1+ 1 3

∴

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

lim

n→∞

3 2 [1- 1 (-3)n ]

1+ 1 3

=

9

8

故答案为：

9

8

点评：本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的求解，还考查了数列极限的求解．