题目内容

线段PQ是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1过M（1，0）的一动弦，且直线PQ与直线x=4交于点S，则
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=
2
2
．
分析：设出直线PQ的方程，求出M，P，Q的坐标利用转化思想，求解比例的值．
解答：解：设直线PQ的方程为y=k（x-1），所以S（4，3k），
设P，Q的横坐标分别为x1，x2，
联立
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-1)
解得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
所以x1+x2=
8k2
3+4k2

x1•x2=
4k2-12
3+4k2
，
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=
3
4-x1
+
3
4-x2

=3×
8-(x1+x2) 
(4-x1)(4-x2) 

=3×
8-(x1+x2)
16-4(x1+x2) +x1x2

=3×
8-
8k2
3+4k2
16-4×
8k2
3+4k2
+
4k2-12
3+4k2

=3×
24k2+24
36+36k2

=2．
故答案为：2．
点评：本题考查椭圆的简单性质，转化思想的应用，计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
4
+
y2
9
=1上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且
PM
=2
MQ
，点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(0，-
4
17
)且平行于x轴的直线上一动点，满足
ON
=
OA
+
OB
（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．
已知点Q（m，0），P是椭圆
x2
4
+y2=1的动点．若点P恰在椭圆的右顶点时，线段PQ的长度取到最小，则实数m的取值范围为
m≥
3
2
m≥
3
2
．
已知椭圆
x2
4
+
y2
9
=1上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且
PM
=2
MQ
，点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(0，-
4
17
)且平行于x轴的直线上一动点，满足
ON
=
OA
+
OB
（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．
已知点Q（m，0），P是椭圆
x2
4
+y2=1的动点．若点P恰在椭圆的右顶点时，线段PQ的长度取到最小，则实数m的取值范围为______．

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