Question

已知点Q（m，0），P是椭圆

x2

4

+y2=1的动点．若点P恰在椭圆的右顶点时，线段PQ的长度取到最小，则实数m的取值范围为

m≥

3

2

．

Answer 1

分析：设P（x，y），令d=|PQ|=

(x-m)2+y2

，则d²=（x-m）²+y²，根据题意，利用二次函数的单调性即可求得实数m的取值范围．

解答：解：设P（x，y），令d=|PQ|=

(x-m)2+y2

（-2≤x≤2），
则d²=（x-m）²+y²=（x-m）²+1-

x2

4

=

3

4

x²-2mx+m²+1，
显然，d²（x）是关于x的二次函数，
∵点P恰在椭圆的右顶点时，线段PQ的长度取到最小，
∴d²（x）在[-2，2]上单调递减且d²（2）≥0，
∴d²（x）的对称轴x=-

-2m

2× 3 4

=

4m

3

≥2，即m≥

3

2

．
且d²（2）=3-4m+m²+1=（m-2）²≥0恒成立，
∴m≥

3

2

．
故答案为：m≥

3

2

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查二次函数的单调性，考查分析与转化思想，属于中档题．