Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明: 对于任意的成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数在上单调递增，在内单调递减；

当时，函数在上单调递增，在内单调递减，在内单调递增；

当时，函数在上单调递增；

当， 在单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析： 对函数求导，对分类讨论函数的单调性；

构造函数，对构造函数的两部分， 分别求导讨论单调性及取值范围，则，得证。

解析：（Ⅰ）的定义域为；.

当， 时，，单调递增；，单调递减.当时，.

（1），，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减；

（2）时，，在内，，单调递增；

（3）时，，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减.

综上所述，

当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；

当时，在内单调递增；

当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，

，，

令，.

则，

由可得，当且仅当时取得等号.

又，

设，则在单调递减，因为，

所以在上存在使得 时，时，，

所以函数在上单调递增；在上单调递减，

由于，因此，当且仅当取得等号，

所以，

即对于任意的恒成立