Question

（2012•安徽模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量

m

=（2cos2A+3，2），

n

=（2cosA，1），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=

1+ 3

2

，sin（B-C）=cosA，求边长b和c．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量共线的性质可得（2cos2A+3）×1-（2cosA）×2=0，解得 cosA=

1

2

，从而求得角A的大小．
（2）由

AB

•

AC

=

1+ 3

2

可得 bc=

6+2 3

3

①，再由sin（B-C）=cosA=

1

2

，可得B-C的值，根据B+C=

2π

3

，求出B、C的值．利用正弦定理求出

b

c

=

sinB

sinC

=

1+ 3

2

②，结合①②解得边长b和c．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2cos2A+3，2）

n

=（2cosA，1），且

m

∥

n

，∴（2cos2A+3）×1-（2cosA）×2=0，解得 cosA=

1

2

，
在△ABC中，可得A=

π

3

．
（2）∵

AB

•

AC

=

1

2

bc•sinA=

3

4

bc=

1+ 3

2

，
∴bc=

6+2 3

3

 ①．
∵sin（B-C）=cosA=

1

2

，
∴B-C=

π

6

 或  B-C=

5π

6

（舍去）．
再由 B+C=

2π

3

，可得  B=

5π

12

，C=

π

4

．
再由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

b

c

=

sinB

sinC

=

1+ 3

2

 ②．
由①②解得  b=

2 +  6

2

，c=

2

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积的定义，正弦定理的应用，属于中档题．