Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$
（1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是否为等差数列？说明理由
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）若数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{8}{{{a}_{n}}^{2}}$-n+1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1a_n+2a_n+1=2a_n，从而得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，由此能证明数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．
（2）由已知得到$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，由此能求出a_n．
（3）由已知条件推导出{b_n}的前n项和S_n=2n²-n+1，由此利用公式${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，理由如下：
∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴a_n+1a_n+2a_n+1=2a_n，
∴1+2×$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．
（2）∵a₁=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
（3）∵{b_n}的前n项和S_n=$\frac{8}{{{a}_{n}}^{2}}$-n+1=$\frac{8}{\frac{4}{{n}^{2}}}$-n+1=2n²-n+1，
∴n=1时，b₁=2-1+1=2，
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2n²-n+1）-[2（n-1）²-（n-1）+1]=4n-3．
当n=1时，4n-3=1≠b₁，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{4n-3，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查一个数列是否为等差数列的判断，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式${b}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理运用．