Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=

2

，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（I）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱锥C₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（I）利用△AOD∽△B₁OB，可求得OA、OD的长，根据勾股定理可证AB₁⊥BD，可证AB₁⊥平面CBD，从而可证线线垂直；
（II）由（1）知OC为三棱锥C-ABA₁的高，底面△ABA₁为直角三角形，利用三棱锥的换底性求得三棱锥的体积．

解答：解：（I）证明：由题意得BD=

AB2+AD2

=

6

2

，AB₁=

3

，
且△AOD∽△B₁OB，
∴

AO

OB1

=

DO

OB

=

AD

BB1

=

1

2

，∴OD=

1

3

BD=

6

6

，AO=

3

3

，
∵AO²+OD²=AD²，∴AB₁⊥BD，
又CO⊥侧面ABB₁A₁，∴AB₁⊥CO，
又BD与CO交于点O，∴AB₁⊥面CBD，
又∵BC?面CBD，∴BC⊥AB₁．
（II）∵OC=OA=

3

3

，且A₁C₁∥平面ABC，
由（1）知OC为三棱锥C-ABA₁的高，
底面△ABA₁为直角三角形，
∴VC1-ABC =VC-ABA1=

1

3

S△ABA1×OC=

1

3

×

1

2

×1×

2

×

3

3

=

6

18

．

点评：本题考查了棱锥的体积计算，考查了线面垂直的判定与性质，考查了面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力与运算能力．