Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）求作函数y=f（x）的图象；
（2）写出f（x）的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？（不必证明）
（3）已知f(x)=

1

4

，求x的值．

Answer 1

分析：（1）首先应该将绝对值函数化成分段函数，然后利用二次函数的性质，分段画出函数的图象；
（2）在函数图象上得到函数的单调区间，分别指出增减函数区间即可；
（3）利用分段函数的解析式分段求出满足f(x)=

1

4

，的x的值即可．

解答：解：：（1）当x≥2时，f（x）=x（x-2）=x²-2x，
当x＜2时，f（x）=-x（x-2）=-x²+2x，
即f（x）=

x2-2x      (x≥2) -x2+2x      (x＜2)

．
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
（2）由图可知：
单调区间为（-∞，1），（1，2），（2，+∞），
分别为增函数、减函数、增函数
（3）当x≥2时，f（x）=x（x-2）=

1

4

，解得x=1+

5

2

；
当x＜2时，f（x）=-x（x-2）=

1

4

，解得x=1+

3

2

，1-

3

2

．
∴x的值：x∈{1+

5

2

，1+

3

2

，1-

3

2

}．

点评：本题考查的是二次函数与绝对值综合作图的问题．在解答的过程当中充分体现了绝对值的知识、分段函数的思想、二次函数的性质．注意作图时的规范．值得同学们体会和反思．