题目内容

设f（x）等于 $数学公式$ 展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]上恒成立，则m的取值范围是

A.
[5，+∞）
B.
[ $数学公式$ ，+∞）
C.
[ $数学公式$ ，5]
D.
[ $数学公式$ ，5）

A
分析：先由二项式定理可以得到 $\text{[math]}$ 展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得f（x），由x的范围，可将f（x）≤mx变形为 $\text{[math]}$ x²≤m，由二次函数的性质，求出 $\text{[math]}$ x²在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值，结合不等式恒成立的意义，即可得答案．
解答： $\text{[math]}$ 展开式的通项为T_r+1=C₆^r（x²）^6-r（ $\text{[math]}$ ）^r=（ $\text{[math]}$ ）^r•C₆^r•x^12-3r，
其展开式的中间项为T₄=（ $\text{[math]}$ ）³•C₆³•x³= $\text{[math]}$ x³，即f（x）= $\text{[math]}$ x³，
f（x）≤mx? $\text{[math]}$ x³≤mx，
当 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ x³≤mx? $\text{[math]}$ x²≤m，
且 $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ x²的最大值为5，则若 $\text{[math]}$ x²≤m恒成立，则必有m≥5，
故m的取值范围是[5，+∞），
故选A．
点评：本题考查二项式定理与函数的恒成立问题，关键由二项式定理求出f（x）并求出其最大值．