Question

（2012•宜宾一模）设f（x）等于(x2+

1

2x

) 6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[

2

2

，

2

]上恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A．[5，+∞）
• B．[

  5

  4

  ，+∞）
• C．[

  5

  4

  ，5]
• D．[

  5

  4

  ，5）

Answer 1

分析：先由二项式定理可以得到(x2+

1

2x

) 6展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得f（x），由x的范围，可将f（x）≤mx变形为

5

2

x²≤m，由二次函数的性质，求出

5

2

x²在区间[

2

2

，

2

]上的最大值，结合不等式恒成立的意义，即可得答案．

解答：解：(x2+

1

2x

) 6展开式的通项为T_r+1=C₆^r（x²）^6-r（

1

2x

）^r=（

1

2

）^r•C₆^r•x^12-3r，
其展开式的中间项为T₄=（

1

2

）³•C₆³•x³=

5

2

x³，即f（x）=

5

2

x³，
f（x）≤mx?

5

2

x³≤mx，
当

2

2

≤x≤

2

时，

5

2

x³≤mx?

5

2

x²≤m，
且

2

2

≤x≤

2

时，

5

2

x²的最大值为5，则若

5

2

x²≤m恒成立，则必有m≥5，
故m的取值范围是[5，+∞），
故选A．

点评：本题考查二项式定理与函数的恒成立问题，关键由二项式定理求出f（x）并求出其最大值．