Question

12．已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形，且AA₁=3，设D为AA₁的中点．
（1）作出该几何体的直观图
（2）求证：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （1）由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱．
（2）连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C，BC₁的中点，连接DE，利用全等三角形对应边相等可得BD=DC₁，又由D为AA₁的中点，可得DE⊥BC₁，结合 DE⊥B₁C和线面垂直的判定定理可得DE⊥平面BB₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．

解答 解：（1）由题意可知该几何体为直三棱柱，它的直观图如图所示：
证明：（2）连接B₁C交BC₁于E点，则E为B₁C，BC₁的中点，连接DE，
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键，属于中档题．