题目内容
12．函数y=$\frac{4sinx+1}{2cosx-4}$的最大值是$\frac{5}{6}$．分析 变形已知式子，由三角函数的有界性可得$|{\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}}|≤1$，解不等式可得．
解答 解：∵$y=\frac{4sinx+1}{2cosx-4}$，∴2ycosx-4y=4sinx+1，
∴2ycosx-4sinx=1+4y，
∴$\sqrt{4{y}^{2}+16}$cos（x+φ）=1+4y，其中tanφ=$\frac{2}{y}$，
∴$cos（x+ϕ）=\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}$，∵|cos（x+ϕ）|≤1，
∴$|{\frac{1+4y}{{\sqrt{4{y^2}+16}}}}|≤1$，解得$-\frac{3}{2}≤y≤\frac{5}{6}$，
∴所求最大值为$\frac{5}{6}$，
故答案为：$\frac{5}{6}$．
点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的有界性和不等式的解法，属基础题．
练习册系列答案
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3．在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$2\overrightarrow{DB}$，若$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{CD}$=（ ）
| A． | $\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ | B． | $\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ | C． | $\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{4}{5}\overrightarrow{b}$ | D． | $\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ |
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| A． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 | B． | 向右平移$\frac{π}{3}$个单位 | ||
| C． | 向左平移$\frac{2π}{3}$个单位 | D． | 向右平移$\frac{2π}{3}$个单位 |