Question

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、A₁D₁的中点，则经过E、F的平面截球O所得的截面的面积的最小值是（　　）

• A、

  5

  8

  π
• B、

  π

  2

• C、

  3

  8

  π
• D、

  7

  8

  π

Answer 1

分析：先求球的半径，再求EF，球心到截面圆的距离，OP，然后求出截面圆的半径，就是图中QP即可．

解答：解：因为正方体内接于球，所以2R=

12+12+12

=

3

，R=

3

2

，
过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR，于点P，EF=

6

2

，OF=

2

2

OP=

( 2 2 )2-( 6 4 )2

=

2

4

，所以，在△QPO中，QP=

( 3 2 )2-( 2 4 )2

=

10

4

．
所以所求经过E、F的平面截球O所得的截面的面积的最小值是：π(

10

4

)2=

5

8

π．

故选A

点评：本题考查组合体的结构特征，球的内接多面体，截面圆的面积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．