题目内容

在△ABC中，AB=2，AC=4，若点D为边BC的中点，P为△ABC的外心，给出下列数量积：
① $数学公式$ • $数学公式$ ；
② $数学公式$ • $数学公式$ ；
③ $数学公式$ • $数学公式$ ；
④ $数学公式$ • $数学公式$ ；
⑤ $数学公式$ • $数学公式$ ；
其中其中数量积为定值的序号是________．（请填上所有正确的结论的序号）．

②④⑤
分析：① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角不是定值，故数量积不为定值；
② $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =6；
③ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，故数量积不为定值；
④ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞；
⑤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
解答：①∵ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角不是定值，∴数量积不为定值，故①不正确；
② $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =6，故②正确；
③ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，由①知数量积不为定值，故③不正确；
④ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞=2×1=2，故④正确；
⑤ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4×2-2×1=6，故⑤正确
综上，正确的结论的序号②④⑤
故答案为②④⑤
点评：本题考查向量的数量积，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．