Question

已知函数f（x）=ln（2-x）+a（x-2）（a∈R，e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若方程f（x）-b=0在区间上有两个不同的实根，求证：1-e-lna≤b＜-1-lna．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2））由于a＞0，由（1）知，从而当时，f（x）的值域是，根据题中条件：当函数y=f（x）与函数y=b的图象有两个交点时，得出，
化简即得：1-e-lna≤b＜-1-lna．
解答：解：（1）
当a≤02时，f'（x）＜0，∴f（x）是减函数
当a＞06时，，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0
此时，f（x）的单调增减区间分别为，
（2）∵a＞0，由（1）知
当时，f（x）的值域是
当函数y=f（x）与函数y=b的图象有两个交点时，
得出，
即
∴1-e-lna≤b＜-1-lna．
点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．