题目内容
A、B是双曲线
-y2=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且
=
．
（Ⅰ）求|
|的取值范围（O为坐标原点）；
（Ⅱ）求|
|的最小值．
| x2 |
| 3 |
| AM |
| MB |
（Ⅰ）求|
| OM |
（Ⅱ）求|
| AB |
（Ⅰ）双曲线的右准线方程为x=
，记M（
，m），并设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
=
，知M为AB的中点，则直线AB的斜率k存在，且k≠0，于是直线AB的方程为y=k（x-
）+m，
代入双曲线方程，并整理得（1-3k2）x2+3k（3k-2m）x-
（3k-2m）2-3=0
因为 1-3k2≠0，x1+x2=3，
所以-
=3，∴km=
，
△=9 k2（3k-2m）2+3（1-3k2）[（3k-2m）2-3]=
由△＞0，得 0＜k2＜
，所以m2＞
．
因为|
|=
＞
，
故|
|的取值范围为（
，+∞）．
（Ⅱ）|
|2=（1+k2）（x1-x2）2=（1+k2）=
)
因为4k2（1-3k2）≤（
）2=
所以|
|2≥
=48，当且仅当k2=
时取“=”号．
故当k=±
时，|
|取得最小值4
．
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由
| AM |
| MB |
| 3 |
| 2 |
代入双曲线方程，并整理得（1-3k2）x2+3k（3k-2m）x-
| 3 |
| 4 |
因为 1-3k2≠0，x1+x2=3，
所以-
| 3k(3k-2m) |
| 1-3k2 |
| 1 |
| 2 |
△=9 k2（3k-2m）2+3（1-3k2）[（3k-2m）2-3]=
| 3(k2+1)(1-3k2) |
| k2 |
由△＞0，得 0＜k2＜
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
因为|
| OM |
(
|
| 3 |
故|
| OM |
| 3 |
（Ⅱ）|
| AB |
| 3(k2+1) 2 |
| k2(1-3k2 |
因为4k2（1-3k2）≤（
| 4k2+1-3k2 |
| 2 |
| (k2+1)2 |
| 4 |
所以|
| AB |
| 48(k2+1)2 |
| (k2+1)2 |
| 1 |
| 7 |
故当k=±
| ||
| 7 |
| AB |
| 3 |
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