Question

设函数f（x）=x-2msinx+（2m-1）sinxcosx（m为实数）的定义域为（0，π）．
（I）当m=0时，求曲线y=f（x）在点（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（II）若f（x）是增函数，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把m=0代入解析式化简，求出导数、

f′( π 4 )

和

f( π 4 )

的值，代入直线的点斜式方程，再化为一般式方程；
（II）解法一：求出函数的导数，再由条件和余弦函数的范围将问题转化为：（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立，再对m分类讨论，利用余弦函数的范围求出m的范围；
解法二：由题意得：f′（x）=2[（2m-1）cos²x-mcosx-（m-1）]＞0在（0，π）上恒成立，令cosx=t，求出-1＜t＜1，代入后构造二次函数g（t）=（2m-1）t²-mt-（m-1），再对m分类讨论，利用二次函数的性质求出，当t∈（-1，1）时g（t）＞0对应的m的范围．

解答：解：（I）当m=0时，f(x)=x-

1

2

sin2x，…（1分）
∴f′(x)=1-

1

2

cos2x×2=1-cos2x，∴f′(

π

4

)=1．…（2分）
∵

f( π 4 )= π 4 - 1 2 ，

∴

y=f(x)在点( π 4 ，f( π 4 ))

处的切线方程为：y-(

π

4

-

1

2

)=1×(x-

π

4

)．…（3分）
即2x-2y-1=0．…（4分）
（II）解法一：由题意得：

f′(x)=1-2mcosx+2(m- 1 2 )cos2x

=

2[(2m-1)cos2x-mcosx+1-m]

=2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]
∵f（x）在区间（0，π）上是增函数，
∴2（cosx-1）[（2m-1）cosx+（m+1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
∵0＜x＜π，∴cosx＜1．即（2m-1）cosx+（m+1）＜0在（0，π）上恒成立…（7分）
①若m＞

1

2

，则cosx＜

1-m

2m-1

对于x∈（0，π）恒成立，
则只需

1-m

2m-1

≥1，即

1

2

＜m≤

2

3

；…（9分）
②若m=

1

2

，则0•cosx+

1

2

-1＜0对于x∈（0，π）显然成立；…（10分）
③若m＜

1

2

，则cosx＞

1-m

2m-1

对于x∈（0，π）恒成立，
则只需

1-m

2m-1

≤-1，即0≤m＜

1

2

．…（11分）
综上所述，所求实数m的取值范围是[0，

2

3

]．…（12分）
解法二：∵f（x）在区间（0，π）上是增函数，
∴f′（x）=1-2mcosx+（2m-1）cos2x
=2[（2m-1）cos²x-mcosx-（m-1）]＞0在（0，π）上恒成立．…（6分）
令cosx=t，-1＜t＜1．
设函数g（t）=（2m-1）t²-mt-（m-1），
问题转化为g（t）在t∈（-1，1）上恒有g（t）＞0．…（7分）
①当2m-1=0时，即m=

1

2

，则g(t)=-

t

2

+

1

2

，
∵g（t）在（-1，1）上是减函数，
∴g（t）＞g（1）=-

1

2

+

1

2

=0，
即当-1＜t＜1时g（t）＞0恒成立．…（8分）
②当2m-1＞0即m＞

1

2

时，
分三种情况：
第一种情况：

m＞ 1 2 - -m 2(2m-1) ≥1 g(1)≥0

，即

m＞ 1 2 3m-2≤0 (2m-1)×1-m×1-(m-1)≥0.

解之得：

1

2

＜m≤

2

3

．
第二种情况：

m＞ 1 2 - -m 2(2m-1) ＜-1 g(-t)≥0.

，即

m＞ 1 2 m＜ 2 5 m≥0.

无解．
第三种情况：

m＞ 1 2 -1＜- -m 2(2m-1) ＜1 g(- -m 2(2m-1) )＞0.

即

m＞ 1 2 m＞ 2 3 (3m-2)2＜0

无解．…（10分）
③当2m-1＜0即m＜

1

2

时

m＜ 1 2 g(1)≥0 g(-1)≥0.

解之得0≤m＜

1

2

．…（11分）
故所求实数m的取值范围是[0，

2

3

]．…（12分）

点评：本题考查了导数的几何意义，切线方程求法，余弦函数的性质，二次函数的性质的应用，以及函数的单调性与导数之间的关系，涉及了分类讨论思想和换元法，一题多解，综合性较强，难度大．