Question

20．设点(，0)，和抛物线：y＝x²＋a_n x＋b_n(n∈N*)，其中a_n＝－2－4n－，由以下方法得到：

   x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x²＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x²＋a_n x＋b_n上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

Answer 1

20.解：（Ⅰ）由题意，得

      A₁(1,0)， C₁：y=x²－7x+b₁,

设点P（x,y）是C₁上任意一点，

则|A₁P|=

      =

令f(x)=（x－1）²+(x²－7x+b₁)²,

则  f’(x)=2(x－1)+2(x²－7x+b₁)(2x－7)

由题意，得

   f’(x₂)=0,

即 2(x₂－1)+2(x₂²－7x₂+b₁)(2x₂－7)=0.

又P₂(x₂,2)在C₁上

∴2＝x₂²－7x₂+b₁,

解得 x₂=3,  b₁=14,

故C₁方程为y=x²－7x+14

（Ⅱ）设点P（x,y）是C_n上任意一点，

则|A_nP|=

      =

令g(x)=(x－x_n)²+(x²+a_nx+b_n)²,

则 g’(x)=2(x－x_n)+2(x²+a_nx+b_n)(2x+a_n).

由题意，得

g’(x_n+1)=0

即 2(x_n+1－x_n)+2(x_n+1²+a_nx_n+1+b_n)(2x_n+1+a_n)=0

又∵2ⁿ=x_n+1²+a_nx_n+1+b_n

∴(xⁿ⁺¹－x_n)+2ⁿ(2x_n+1+a_n)=0(n≥1).

即(1+2ⁿ⁺¹)x_n+1－x_n+2 ⁿa_n=0          （*）

下面用数学归纳法证明x_n=2n－1

①当n=1时，x₁=1，等式成立。

②假设当n=k时，等式成立，即x_k=2k－1.

则当n=k+1时，

由（*）知（1+2^k+1）x_k+1－x_k+2^ka_k=0

又a_k=－2－4k－,

∴x_k+1=

即当n=k+1时，等式成立，

由①②知，等式对n∈N*成立。

∴{x_n}是等差数列。