Question

20．设函数f（x）=axlnx+$\frac{b}{e}$（其中e为自然相对数的底数，e=2.71828…），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1+$\frac{3}{e}$．
（1）求a，b：
（2）证明：$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；
（2）$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2等价为xlnx+$\frac{3}{e}$＞$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0），分别求得f（x）的最小值和g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0）的最大值，比较即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=axlnx+$\frac{b}{e}$为f′（x）=a（1+lnx），
在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1+$\frac{3}{e}$．可得
f（1）=$\frac{b}{e}$=$\frac{3}{e}$，f′（1）=a=1，
解得a=1，b=3：
（2）证明：$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2等价为xlnx+$\frac{3}{e}$＞$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0），
由f′（x）=1+lnx，可得x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增，
0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减，
即有x=$\frac{1}{e}$处取得最小值，且为$\frac{2}{e}$，即f（x）≥$\frac{2}{e}$；
由g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$（x＞0）的导数为g′（x）=$\frac{2（1-x）}{{e}^{x}}$，
可得x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，
0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增，
即有x=1处取得最大值，且为$\frac{2}{e}$，即g（x）≤$\frac{2}{e}$．
由于f（x），g（x）的最值等号不同时取得，
故$\frac{{e}^{x}}{x}$f（x）＞2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数求最值，考查运算能力，属于中档题．