题目内容

设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）
分析：根据抛物线方程算出|OF|，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
解答：解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（
p
2
，0），可得|OF|=
p
2
，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
∴Rt△AOF中，|AF|=
(
p
2
)2+4
=
p2+16
2
，
则sin∠OAF=
OF
AF
=
p
2
p2+16
2
=
p
p2+16
，
根据抛物线的定义，可得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，
∴Rt△AMF中，sin∠AMF=
AF
MF
=
p
p2+16
，
∵|MF|=5，|AF|=
p2+16
2
，
∴
p2+16
2
5
=
p
p2+16
，整理得p2+16=10p，
解得：p=2或p=8，
∴抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故选：C．
点评：本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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3
3
，圆F的方程为
(x-
3
2
)2+y2=12
(x-
3
2
)2+y2=12
．
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n
=(1，2)，当焦点为F(
1
2
，0)时，求△OAB的面积；
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（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为
d
=(1，a)的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；
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（1）求抛物线C的方程；
（2）若
OE
=2(
OA
+
OB
)（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0为定值时，k1+k2也为定值．

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