Question

（2013•宝山区一模）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若p=2，求线段AF中点M的轨迹方程；
（2）若直线AB的方向向量为

n

=(1，2)，当焦点为F(

1

2

，0)时，求△OAB的面积；
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

Answer 1

分析：（1）先由抛物线的方程得到其焦点坐标，设A（x₀，y₀），M（x，y），利用中点坐标公式得

x0=2x-1 y0=2y

，最后根据抛物线方程消去参数x₀，y₀，即得线段AF中点M的轨迹方程．
（2）先利用直线AB的方向向量，求出直线的斜率，得出直线方程；再与抛物线方程联立，求出A、B两点之间的线段长以及点O到AB的距离，代入△ABO面积的表达式，求出△ABO面积即可．
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．直线AB的方程与抛物线方程联立，结合根与系数的关系，证出k₁+k₂=2k₃即可证得k_MA、k_MF、k_MB成等差数列．

解答：解：（1）设A（x₀，y₀），M（x，y），焦点F（1，0），
则由题意

x= x0+1 2 y= y0 2

，即

x0=2x-1 y0=2y

…2分
所求的轨迹方程为4y²=4（2x-1），即y²=2x-1…4分
（2）y²=2x，F(

1

2

，0)，直线y=2(x-

1

2

)=2x-1，…5分
由

y2=2x y=2x-1

得，y²-y-1=0，|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

5

2

…7分
d=

1

5

，…8分
S△OAB=

1

2

d|AB|=

5

4

…9分
（3）显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k₁、k₂、k₃．
点A、B、M的坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-

p

2

，m)．
设直线AB：y=k(x-

p

2

)，代入抛物线得y2-

2p

k

y-p2=0，…11分
所以y1y2=-p2，…12分
又y12=2px1，y22=2px2，
因而x1+

p

2

=

y12

2p

+

p

2

=

1

2p

(y12+p2)，x2+

p

2

=

y22

2p

+

p

2

=

p4

2py12

+

p

2

=

p

2y12

(y12+p2)
因而k1+k2=

y1-m

x1+ p 2

+

y2-m

x2+ p 2

=

2p2(y1-m)

p(y12+p2)

+

2y12(- p2 y1 -m)

p(y12+p2)

=-

2m

p

…14分
而2k3=

0-m

p 2 -(- p 2 )

=-

2m

p

，故k₁+k₂=2k₃．…16分．

点评：本小题主要考查轨迹方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．