Question

已知椭圆的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b²=3，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2，A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组，得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=-，x₁x₂=，从而求得|AQ|=；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），可求得，|x₄|=，从而得|OP|=•；继而可求得的值．
解答：解：（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，y_M）代入椭圆方程+=1，解得y_M=±，…（2分）
故=3，可得b²=3．                                                …（4分）
所以，椭圆方程为+=1．                                        …（6分）
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2，…（8分）
设A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组，
消去y得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
则|AQ|=|x₁-x₂|==．      …（11分）
设y=kx与椭圆交另一点为M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），联立方程组，
消去y得（4k²+3）x²-12=0，|x₄|=，
所以|OP|=|x₄|=•．                             …（13分）
故==2．
所以等于定值2…（15分）
点评：本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．