Question

5．已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，求出a₂=2，当n≥2时，求出a_n+1-a_n-1=2，由此能求出a_n=n，n∈N^*．
（2）由a_n=n，$n•{2}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁a₂=2a₁，解得a₂=2，
当n≥2时，a_n-1a_n=2S_n-1，a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴a₁，a₃，…，a_2n-1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a_2n-1=2n-1，
a₂，a₄，…，a_2n，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a_2n=2n，
∴a_n=n，n∈N^*．
（2）∵a_n=n，$n•{2}^{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
∴数列{$n•{2}^{{a}_{n}}$}的前n项和：
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n•2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．