Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.

（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；

（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）首先通过证明平面证得.结合余弦定理和勾股定理证得，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，由直线与平面所成角的正切值求得正弦值，结合直线的方向向量和平面的法向量列方程，解方程求得的长.由此通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其正弦值.

（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，

∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，

∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，

∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF，

∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，

由①②得BF⊥平面BCDE，

∴平面BFC⊥平面BCDE.

（2）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，

设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），

∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，

∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，

平面BCDE的法向量（0，0，1），

∴|cos|，解得a＝2，

∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），

设平面EDF的法向量（x，y，z），

则，取z＝1，得（），

同理得平面DFC的一个法向量（0，，2），

∴cos，

∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin.