Question

本题满分15分）如图，在矩形中，点分别
在线段上，.沿直线
将翻折成，使平面. 
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四
边形向上翻折，使与重合，求线段
的长。

Answer 1

，

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,


又因为平面平面.
如图建立空间直角坐标系A-xyz
则（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.   
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
       -2x+2y+2z=0
所以
6x=0.
取，则。
又平面的一个法向量，
故。
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设则，
因为翻折后，与重合，所以，
故，，得，
经检验，此时点在线段上，
所以。
方法二：
（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。
因为=及是的中点，
所以
又因为平面平面，
所以平面,
又平面,
故，
又因为、是、的中点，
易知∥，
所以，
于是面，
所以为二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值为。
（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，
所以，
而，
 
得，
经检验，此时点在线段上，
所以。