Question

若双曲线-=1的渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线相交于A，B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则p的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：求出双曲线-=1的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由△OAB（O为原点）为等边三角形，可得出点A，B到x轴的距离恰为原点到抛物线的准线距离的倍，由此方程求出p的值
解答：解：∵双曲线-=1
∴综的渐近线方程是y=±
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-
故A，B两点的纵坐标分别是y=±
又△OAB（O为原点）为等边三角形，x轴是角AOB的角平分线
∴×=，得p=4
故答案为4
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，再由△OAB（O为原点）为等边三角形建立关于参数的方程求参数，本题有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错