Question

已知函数f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f'（x）是f（x）的导数，设a₁=1，a_n+1=a_n-（n=1，2，…）。
（1）求α、β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有a_n>α；
（3）记b_n=ln（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和S_n。

Answer 1

解：（1）由方程x²+x-1=0解得方程的根为
又∵α，β是方程的两个实根，且α>β
∴
（2）∵
∴


下面用数学归纳法证明当n≥1时，a_n-α>0成立
①当n=1时

命题成立；
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即a_k-α>0，
此时有a_k>α>0
则当n=k+1时，
命题成立，根据数学归纳法可知，对任意的正整数n，有a_n-α>0。
（3）根据（2）同理可得，对任意的正整数n有
仍由（2）知，对任意的正整数n，
于是对任意的正整数n，
∴

∴
即数列{b_n}是首项为b₁，公比为2的等比数列，故数列{b_n}前n项之和为
。