Question

已知△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且bsinA=

3

acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若f(x)=

3

sinxcosx+cos2x，求f（A）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答：解：（1）由正弦定理化简已知等式得：sinBsinA=

3

sinAcosB，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
整理得：sinB=

3

cosB，即tanB=

3

，
∵B为三角形内角，∴B=

π

3

；
（2）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（2A+

π

6

）+

1

2

，
由（1）得：A∈（0，

2π

3

），
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

3π

2

），
∴sin（2A+

π

6

）_max=1，即[sin（2A+

π

6

）+

1

2

]_max=

3

2

，
则f（A）_max=

3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．