Question

已知在△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），且满足

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求c的值．

Answer 1

分析：（1）直接将

m

•

n

=sin2C坐标化，化简整理即可求出C；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列及正弦定理得a+b=2c，再由余弦定理得ab=c^2，
由

CA

•(

AB

-

AC

)=

CA

•

CB

=18可得ab的关系，解方程组可求的c．

解答：解：（1）由

m

•

n

=sin2C得sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin2C，即sinC=sin2C，所以cosC=

1

2

，C=

π

3

．
（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，a+b=2c，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

3c2-2ab

2ab

=

1

2

∴ab=c²，
由

CA

•(

AB

-

AC

)=18得

CA

•

CB

=18，
即abcosC=18，所以ab=36，因此有c²=36，c=6．

点评：本题考查向量的运算、正余弦定理解三角形知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．