Question

已知函数f（x）=2sinx•sin(

π

2

+x)-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（

x0

2

）=

2

3

，x₀∈(-

π

4

，

π

4

)，求cos2x₀的值．
（Ⅲ）在锐角△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，若b=2，C=

5π

12

，且满足f（

A

2

-

π

8

）=

2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式求得函数f（x）为

2

sin（2x+

π

4

），可得函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由已知得f（

x0

2

）=sinx₀+cosx₀=

2

3

，两边平方，求得sin2x₀=-

7

9

． 由 x₀ ∈(-

π

4

，

π

4

) 可得 2x₀ ∈(-

π

2

，

π

2

)，再由 cos2x₀=

1-sin2(2x0)

，运算求得结果．
（Ⅲ）因为 f（

A

2

-

π

8

）=

2

sinA=

2

2

，求得sinA的值，可得A的值． 再由C=

5π

12

求得B的值．可得b=c=2，由此求得△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA的值．

解答：解：（Ⅰ）由于 函数f（x）=2sinx•sin(

π

2

+x)-2sin²x+1=2sinxcosx+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
可得函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由已知得f（

x0

2

）=sinx₀+cosx₀=

2

3

，
两边平方，得1+sin2x₀=

2

9

，所以，sin2x₀=-

7

9

．   
因为 x₀ ∈(-

π

4

，

π

4

)，所以 2x₀ ∈(-

π

2

，

π

2

)，
所以，cos2x₀=

1-sin2(2x0)

=

1-(- 7 9 )2

=

4 2

9

．
（Ⅲ）因为 f（

A

2

-

π

8

）=

2

sin[2（

A

2

-

π

8

）+

π

4

]=

2

sinA=

2

2

，
所以sinA=

1

2

，又因为△ABC为锐角三角形，所以A=

π

6

．
所以由A+B+C=π，且C=

5π

12

 得到：B=

5π

12

．
所以b=c=2，且△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA=

1

2

×2×2×

1

2

=1．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．