Question

在数列{a_n}中，已知a1=2，an+1=

2an

an+1

(n∈N*)．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明数列{

1

an

-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜3．

Answer 1

分析：（1）将n=1代入an+1=

2an

an+1

(n∈N*)可求出的a₂值，然后将n=2代入可求出a₃的值；
（2）将an+1=

2an

an+1

变形得

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

⇒

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，从而可知数列{

1

an

-1}为等比数列，其首项为-

1

2

，公比为

1

2

，从而求出数列的通项公式；
（3）当n≥2时，an(an-1)=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1)(2n-2)

=

2n-1

(2n-1-1)(2n-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

，从而可证得a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3．

解答：解：（1）a2=

4

3

，a3=

8

7

…（2分）
（2）由a1=2，an+1=

2an

an+1

得：

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

⇒

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)∵a1=2，

1

a1

-1=-

1

2

∴

1 an+1 -1

1 an -1

=

1

2

所以数列{

1

an

-1}为等比数列，其首项为-

1

2

，公比为

1

2

…（6分）
所以

1

an

-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n⇒an=

2n

2n-1

即为数列的通项公式．…（9分）
（3）证明：an=

2n

2n-1

⇒an(an-1)=

2n

(2n-1)2

当n≥2时，an(an-1)=

2n

(2n-1)2

＜

2n

(2n-1)(2n-2)

=

2n-1

(2n-1-1)(2n-1)

=

1

2n-1-1

-

1

2n-1

⇒a1(a1-1)+a2(a2-1)+…+an(an-1)=

2

(2-1)2

+

22

(22-1)2

+…+

2n

(2n-1)2

＜

2

(2-1)2

+(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3
所以原不等式成立．…（12分）

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．