Question

【题目】对于集合 ，定义了一种运算“ ”，使得集合 中的元素间满足条件：如果存在元素 ，使得对任意 ，都有 ，则称元素 是集合 对运算“ ”的单位元素．例如： ，运算“ ”为普通乘法；存在 ，使得对任意 ，都有 ，所以元素 是集合 对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“ ”：
② ，运算“ ”为普通减法；
② 表示 阶矩阵， }，运算“ ”为矩阵加法；
③ （其中 是任意非空集合），运算“ ”为求两个集合的交集．
其中对运算“ ”有单位元素的集合序号为（ ）
A.①②；
B.①③；
C.①②③；
D.②③．

Answer 1

【答案】D
【解析】解：A、对于①，若 ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；对于②， A = { A m × n | A m × n 表示 m × n 阶矩阵 ， m ∈ N * ， n ∈ N * } ，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；A不符合题意；
B、对于①，若 A = R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；③ A = { X | X M } （其中 M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合 M ．B不符合题意；
C、对于①，若 A = R ，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；对于②， A = { A m × n | A m × n 表示 m × n 阶矩阵 ， m ∈ N * ， n ∈ N * } ，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③ A = { X | X M } （其中 M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合 M ．C不符合题意；
D、对于②， 表示 阶矩阵 ，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵； ③ （其中 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合 ． D符合题意。
故答案为：D.

集合中常用的运算包括：集合交换律、集合结合律、集合分配律、集合对偶律、集合的摩根律、集合吸收率以及集合求补律等。