Question

已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，BD，AC所成角为60°．且BD=a，AC=b，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线定理，可证出GH∥EF且GH=EF，所以四边形EFGH是平行四边形．由AC、BD所成的角为60°，可得∠EFG=60°或120°，最后用正弦定理关于面积的公式，结合AC、BD的长度代入，即可得到四边形EFGH的面积．

解答：解：∵△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF=

1

2

AC．
同理可得GH∥AC且GH=

1

2

AC，FG∥BD且FG=

1

2

BD
∵GH∥EF且GH=EF，∴四边形EFGH是平行四边形
∵EF∥AC，FG∥BD，AC、BD所成的角为60°
∴∠EFG=60°或120°
∵平行四边形EFGH中，EF=

1

2

AC=

1

2

a，FG=

1

2

BD=

1

2

b
∴四边形EFGH的面积S=EF•FG•sin∠EFG=

1

2

a•

1

2

b•

3

2

=

3

8

ab．

点评：本题给出空间四边形的对角线的长度和它们所成的角，求各边中点构成的四边形的面积，着重考查了三角形的中位线定理和异面直线所成角等知识，属于基础题．