Question

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段．为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路l与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分．记点P到边AD距离为t，f（t）表示该地块在直路左下部分的面积．
（1）求f（t）的解析式；
（2）求面积S=f（t）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导函数，写出经过P（t，）的切线方程并得到切线在两坐标轴上的截距，然后根据两截距与1的关系对t分类，求出t在不同范围内的切线左下方的面积，则分段函数的解析式可求；
（2）直接利用二次函数的单调性求各区间段内函数的最值，然后各段内最大值的最大者．
解答：解：（1）因为，所以，又P（t，），
所以过点P的切线方程为，即，
令x=0，得，令y=0，得x=2t．
所以切线与x轴交点E（2t，0），切线与y轴交点．
①当，即时，切线左下方的区域为一直角三角形，
所以；
②当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形，
；
③当，即时，切线左下方的区域为一直角梯形，
所以．
综上．
（2）当时，=，
当时，=，
所以．
所以面积S=f（t）的最大值为．
点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用二次函数的单调性求函数的最值，需要注意的是分段函数的最值要分段求，属中档题．