Question

（本题满分16分）

如图，某新建小区有一片边长为1（单位：百米）的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路（宽度不计），直路与曲线段MN相切（切点记为P），并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为，表示该地块在直路左下部分的面积。

（1）求的解析式；

（2）求面积的最大值。

Answer 1

（1）因为，所以，

所以过点的切线方程为，即，……2分 

令，得，令，得.

所以切线与轴交点，切线与轴交点.………………4分 

①当即时，切线左下方的区域为一直角三角形，

所以.………………………………………………6分

②当 即时，切线左下方的区域为一直角梯形，

，……………………………………………8分 

③当即时,切线左下方的区域为一直角梯形,

所以.

综上…………………………………………10分

(2)当时,  ，……………………12分

当时, ，………………………14分

所以．…………………………………………………………………16分