Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调区间与极值；

（2）已知函数的图象与直线相交于，两点（），证明：．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）求出导函数，利用确定增区间，确定减区间，从而可得极值；

（2）由（1）知只有在且即时，函数的图象与直线才有两个交点，由得，可得，同时由消去参数，并设，都可用表示，要证不等式，只要证，即，只要证，引入新函数．利用导数的知识可证．

解：（1），

①当时，，此时在上单调递增，无极值；

②当时，由，得.

所以时，，单调递减；

时，，单调递增.

此时函数有极小值为，无极大值.

（2）由题设可得，所以，

且由（1）可知，，.

，，∴，同理，

由，可知，所以.

由，得，

作差得

设（），由，得，

所以，即，

所以，

要证，只要证，即，只要证.

设（），

则.

所以在单调递增，.

所以.