Question

【题目】设函数，（），

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若当时的图象总在函数的图象的下方，求正实数t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.

【解析】

（1）求导数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质研究导函数的正负情况，进而得出函数的单调增区间和单调间区间；（2）将问题等价转化为不等式恒成立问题，构造函数，求导数，利用分类讨论思想研究导函数的正负情况，得到函数的单调性，进而判定各种情况是否符合题意，从而得出参数的取值范围.

解:（1），

则.

①当时，，∴单调增区间是，无减区间；

②当时，令，，

：，即时，，即,

∴单调增区间是，无减区间；

：时，即，设，，

∵，，∴，

∴时，即∴的单调增区间是，

同理：单调减区间是，

综上：①当时，单调增区间是，无减区间；

②当时，的单调增区间是，，单调减区间是

其中： ， .

（2）因为函数的图象恒在的图象的下方，

所以在区间上恒成立.

设，其中，

所以，其中，.

①当，即时，，

所以函数在上单调递增，，

故成立，满足题意.

②当，即时，设，

则图象的对称轴，，，

所以在上存在唯一实根，设为，则，，，

所以在上单调递减，此时，不合题意.

综上可得，实数t的取值范围是.