题目内容
设数列{
}的前n项和为
，并且满足
，
（n∈N*）.
（Ⅰ）求
，
，
；（Ⅱ）猜想{}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设
，
，且
，证明：
≤
.
解：（Ⅰ）分别令
，2，3，得
∵，
∴
，
，
…………………3分
（Ⅱ）证法一：
猜想：
， ……………………4分
由 ①
可知，当
≥2时，
② ①－②，得 
，
即
. ………………6分
1）当
时，
，
∵
，
∴； ……………7分
2）假设当
（
≥2）时，
.
那么当
时，
，
∵
，≥2，
∴
，
∴
.
这就是说，当时也成立，
∴（≥2）.
显然时，也适合.
故对于n∈N*，均有. ……………………9分
证法二：猜想：， ……………………………4分
1）当时，成立； ……………………………5分
2）假设当时，. …………………………6分
那么当时，
.
∴
， ∴
（以下同证法一） ………………9分
（Ⅲ）证法一：要证
≤，
只要证
≤
，…………10分
即
≤，…………11分
将代入，得
≤
，
即要证
≤
，
即
≤1. …………………………12分
∵，，且，
∴
≤
,
即
≤
，故≤1成立，
所以原不等式成立. ………………………14分
证法二：∵，，且，
∴
≤
①
当且仅当
时取“
”号. ………………………11分
∴
≤
②
当且仅当
时取“”号. ……………………12分
①+②，
得（
）
≤
，
当且仅当
时取“”号. ………………………13分
∴≤. ……………………14分
证法三：可先证
≤
. ……………………10分
∵
，
，
≥
，……………………………11分
∴
≥
，
∴≥，
当且仅当
时取等号. ………………12分
令
，
，
即得：≤
，
当且仅当
即时取等号. ………………………14分
